En este proyecto se contemplan dos problemas de investigacion. El primer problema es sobre la ecuacion del calor discreta, y corresponde al dominio de las redes complejas y la geometria discreta. El segundo problema es la constructibilidad de la aplicacion de Darboux-Cartan para un D-grupoide de Lie transitivo. Este es una extension contemporanea de un problema muy clasico de geometria diferencial, cuya solucion ayudara al desarrollo de las teorias de Estructuras Geometricas, Pseudogrupos de Lie, y la teoria de Galois diferencial no lineal. Con respecto al primer problema, la ecuacion del calor discreta es un proceso de difusion que tiene lugar en una red compleja. Estos procesos de difusion tienen un profundo interes teorico, pero tambien aparecen de forma natural en muchas aplicaciones, como la propagacion de virus a traves de internet, percolaciones de un medio poroso, etc. La ecuacion del calor discreta ha sido estudiada recientemente por numerosos expertos en el area de redes. Hasta el momento hay resultados muy completos en el caso de redes homogeneas, grafos de Cayley y en general contextos dotados de gran simetria (Fan Chung et. al.). En otro proyecto anterior, nosotros hemos trabajado con la ecuacion del calor discreta en grafos de Cayley, vista como un automata celular, obteniendo resultados de naturaleza algebraica en el contexto de la teoria de Galois de ecuaciones en diferencias y del analisis de Fourier discreto (tesis de Maestria de Weimar Munoz Alzate, y trabajo en preparacion para Journal of Difference Equations). En este proyecto queremos estudiar la ecuacion del calor en contextos mas generales, particularmente en redes no homogeneas. Tambien queremos explotar la ecuacion del calor como medio de exploracion de la topologia de las redes complejas y la relacion entre la ecuacion del calor (proceso de difusion) y los caminos aleatorios, asi como las transformaciones entre redes que conservan procesos de difusion (vease Dragomir et. al. Discrete Heat Equation Morphisms). Con respecto al segundo problema, la aplicacion de Darboux-Cartan relaciona la estructura de las algebras de Lie y los grupos de Lie. Es conocido que una variedad paralelizada por un algebra de Lie de campos vectoriales esta dotada de una estructura natural de Grupo de Lie local, o equivalentemente, reviste un abierto de un grupo de Lie. Este revestimiento que envia la variedad paralelizada en un grupo de Lie se conoce como la aplicacion de Cartan Darboux. Nosotros pretendemos llevar este resultado a un contexto algebraico. La primera pregunta es: ¡si tenemos una variedad algebraica paralelizada por un algebra de Lie de campos regulares, dicha variedad reviste un abierto de un grupo algebraico? Por el momento conocemos que dicha pregunta tiene una respuesta negativa, dada por un contraejemplo de B. Malgrange. Por tanto, en la caegoria algebraica, las variedades paralelizadas por algebras de Lie y las estructuras de grupo local son categorias diferentes teniendo la primera mas objetos que la segunda. En este proyecto queremos clarificar la diferencia entre estas dos categorias, dando condiciones suficientes y necesarias para que una variedad algebraica paralelizada sea un grupo algebraico local. Tambien queremos estudiar las posibles variedades paralelizadas que no corresponden a estructuras locales de grupo algebraico, y clasificarlas. Para ello, hemos descubierto un interesante nexo entre este problema y la teoria de las extensiones G-primitivas de E. Kolchin (Differential Algebra and Algebraic Groups, 1974).